＞もしかして、Creative Cloudアプリケーションもいったん削除しないといけないのかな？
はい、CC クリーナーツールはCSおよびCCのアプリケーション、関連ファイルをすべて削除するツールです。
ですので大変お手数ですが、CS6やCCを最初からインストールし直していただきたいのです。
それとも、クリーナーツールですべて削除したにも拘わらずインストールに失敗するということでしょうか？
もしもそうであれば、今一度以下のトラブルシューティングページを参照の上、最後にあるお問合せ先までお知らせください。