エラー内容からの推測ですが、サーバのPHPバージョンが更新された事で、これまで使えていたmysql_* 系のMySQL接続関数が削除されてしまっている(インストールされていない)可能性が考えられます。
Dreamweaver自体のサーバービヘイビアの機能が更新されなくなって久しいので、今後ご利用のサーバ上でサーバービヘイビアを動作させる事は難しくなった可能性が非常に高いです。
ひとまず、サーバ上の Connections/ フォルダの中にあるデータベースへの接続設定が記述されているPHPファイルを開き、ファイル内で記載されている関数を以下のように変更してみて下さい。
mysql_pconnect(
↓
mysqli_connect(
これでもエラーが出る場合は、PHP7のような最新のPHPに更新されている可能性が考えられますので、サーバ管理者の方にご相談頂くか、DMXZoneというサードパーティが提供しているサ ーバービヘイビアをご検討頂くほかないかと思います。ご参考まで。
DMXzone Server Connect