「タグ付きテキスト」と仰るのがどのような構造なのかこれだけでは分からないのですが、実際に移動できないコードの内容を教えて頂けると回答しやすいです。
分かる範囲での回答になりますが、「ライブビュー」についてはHTMLのタグ単位で移動する形になるので、仰るように選択した部分を「自由に移動」させる事は出来ないです。
タグの構造を無視した形で「移動」させるのであれば、「デザインビュー」に切り替えて移動させた方が直感的だと思います。この場合、HTMLのタグ構造をまたいだ形で移動できますので、リスト やフォーマットを再度調整する必要があるかもしれません。
それぞれのメリットがありますので、使い分けてご利用頂ければと思います。